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数列题

上一篇 | 下一篇 作者:唐立华 日志分类:个人日志 发布时间:2016-04-27 评论/阅读:0/9671

1、  设数列 ,定义“优数列”: ,其

[x]表示不超过x的最大整数。

(1)        的值;

(2)       证明:数列 是递增的;

(3)        的值;

(4)       求优数列: 中等于0的项的个数;

(5)        为优数列的前n项和,试求 的值。

解:(1)∵ ,等号成立当且仅当k=1,∴ 

又函数  上递减,在 上递增,

 的最小值均在k=1时取到,从而 

2)设

= ,即 ,所以 是递增的

3 下面来确定 中的整数项。

首先,当 时,有  时取等号,故 

其次,当 时,有 ,且当 时取等号。∴     

最后,当 时,由于 单调递增,可知       

由①②③得: ,又 ,所以优数列的前2014项中共有22+21=43项值为0

4)由(3)的讨论可知,当 时,有 

由于 ,结合 的单调性可得:当 时,  时,       

 ,利用可得

.

 

 

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