1、  设数列 ，定义“优数列”： ，其

中[x]表示不超过x的最大整数。

（1）       求 的值；

（2）       证明：数列 是递增的；

（3）       求 的值；

（4）       求优数列： 中等于0的项的个数；

（5）       设 为优数列的前n项和，试求 的值。

解：（1）∵ ，等号成立当且仅当k=1，∴ 。

又函数 在 上递减，在 上递增，

∴ 的最小值均在k=1时取到，从而 。

（2）设

= ，即 ，所以 是递增的

（3） 下面来确定 中的整数项。

首先，当 时，有 当 时取等号，故 ①

其次，当 时，有 ，且当 时取等号。∴     ②

最后，当 时，由于 单调递增，可知 即      ③

由①②③得： ，又 ，所以优数列的前2014项中共有22+21=43项值为0

（4）由（3）的讨论可知，当 时，有 

由于 ，结合 的单调性可得：当 时， 当 时， ∴      ④

因 ，利用④可得

.

评论列表

1